Question

【題目】設(shè)橢圓的焦點(diǎn),過右焦點(diǎn)的直線與 相交于兩點(diǎn)，若的周長(zhǎng)為短軸長(zhǎng)的倍.

（1）求的離心率;

（2）設(shè)的斜率為，在上是否存在一點(diǎn),使得？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo); 若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）不存在

【解析】

試題分析：（1）求橢圓離心率，只需建立一個(gè)等量關(guān)系即可：因?yàn)?/span>的周長(zhǎng)為，所以，注意短軸長(zhǎng)為，即可得到（2）存在性問題，以算代證，有解就存在，無解就不存在. 設(shè)，，則，代入橢圓方程為化簡(jiǎn)得，再根據(jù)直線方程與橢圓方程聯(lián)立方程組，利用韋達(dá)定理得，計(jì)算 ，則與矛盾，故不存在

試題解析：（1）的周長(zhǎng)為，依題意知，即 .

（2）設(shè)橢圓方程為，直線的方程為，代入橢圓方程得，

設(shè)，則,設(shè)，則 ①

由得,代入① 得 ,

因?yàn)?/span> ②

而,從而 ②式不成立. 故不存在點(diǎn)，使成立.