Question

【題目】一副直角三角板（如圖1）拼接，將△BCD折起，得到三棱錐A﹣BCD（如圖2）．

（1）若E，F分別為AB，BC的中點，求證：EF∥平面ACD；
（2）若平面ABC⊥平面BCD，求證：平面ABD⊥平面ACD．

Answer 1

【答案】
（1）證明：因為E，F分別為AB，BC的中點，所以EF∥AC．

又EF平面ACD，AC平面ACD，所以EF∥平面ACD．

（2）因為平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD=BC，

CD平面BCD，CD⊥BC，所以CD⊥平面ABC．

因為AB平面ABC，所以CD⊥AB．

又因為AB⊥AC，AC∩CD=C，AC平面ACD，CD平面ACD，

所以AB⊥平面ACD．

又AB平面ABD，所以平面ABD⊥平面ACD．

【解析】（1）根據中位線性質可得EF∥AC，由線面平行相關性質可得EF∥平面ACD，（2）由平面ABC⊥平面BCD，CD⊥BC，所以CD⊥平面ABC，從而得到CD⊥AB，結合AB⊥AC，可得出AB⊥平面ACD，即平面ABD⊥平面ACD．
【考點精析】本題主要考查了直線與平面平行的判定和平面與平面垂直的判定的相關知識點，需要掌握平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行；一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直才能正確解答此題．