Question

【題目】如圖，已知圓：，點是圓內一個定點，點是圓上任意一點，線段的垂直平分線和半徑相交于點.當點在圓上運動時，點的軌跡為曲線.

（1）求曲線的方程；

（2）設過點的直線與曲線相交于兩點（點在兩點之間）.是否存在直線使得？若存在，求直線的方程；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）存在，或．

【解析】

（1）結合垂直平分線的性質和橢圓的定義，求出橢圓的方程.

（2）設出直線的方程，聯立直線的方程和橢圓方程，寫出韋達定理，利用，結合向量相等的坐標表示，求得直線的斜率，進而求得直線的方程.方法一和方法二的主要曲邊是直線的方程的設法的不同.

（1）因為圓的方程為，

所以，半徑．

因為是線段的垂直平分線，所以．

所以．

因為，

所以點的軌跡是以，為焦點，長軸長的橢圓．

因為，，，

所以曲線的方程為．

（2）存在直線使得．

方法一：因為點在曲線外，直線與曲線相交，

所以直線的斜率存在，設直線的方程為．

設，

由 得．

則， ①

， ②

由題意知，解得．

因為，

所以，即． ③

把③代入①得， ④

把④代入②得，得，滿足．

所以直線的方程為：或．

方法二：因為當直線的斜率為0時，，，，

此時．

因此設直線的方程為：．

設，

由 得．

由題意知，解得或，

則， ①

， ②

因為，所以． ③

把③代入①得， ④

把④代入②得，，滿足或．

所以直線的方程為或．