Question

設函數f（x）=cosx-

3

sinx+2．
（1）求曲線y=f（x）的對稱軸方程；
（2）設△ABC的三邊a，b，c對應的角為A，B，C，若f（C）=0，a+b=2，求△ABC面積的最大值．

Answer 1

考點：兩角和與差的正弦函數

專題：三角函數的求值,三角函數的圖像與性質,解三角形

分析：（1）化簡可得f（x）=2sin（

π

6

-x）+2．由

π

6

-x=kπ+

π

2

，k∈Z可解得：x=-

π

3

-kπ，k∈Z．
（2）由f（C）=0，可解得：C=

2π

3

-2kπ，k∈Z，即得C=

2π

3

，由a+b=2得ab≤1，從而可求△ABC面積的最大值為

3

4

．

解答： 解：（1）∵f（x）=cosx-

3

sinx+2=2sin（

π

6

-x）+2．
∴由

π

6

-x=kπ+

π

2

，k∈Z可解得：x=-

π

3

-kπ，k∈Z．
∴曲線y=f（x）的對稱軸方程為x=-

π

3

-kπ，k∈Z．
（2）∵f（C）=0
∴2sin（

π

6

-C）+2=0，可解得：C=

2π

3

-2kπ，k∈Z，
∵0＜C＜π
∴C=

2π

3

∵a+b=2
∴a+b=2≥2

ab

，可解得ab≤1
∴S_△ABC=

1

2

absinC=

3

4

ab≤

3

4

．
∴△ABC面積的最大值為

3

4

．

點評：本題主要考察了兩角和與差的正弦函數公式的應用，三角形面積公式的應用，三角函數的圖象與性質，屬于基本知識的考查．