Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形， ，側面底面， ， ， 分別為的中點，點在線段上．

（Ⅰ）求證： 平面；

（Ⅱ）如果直線與平面所成的角和直線與平面所成的角相等，求的值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）詳見解析（Ⅱ）

【解析】試題分析:（Ⅰ）線面垂直的證明，往往利用線面垂直判定定理，即從線線垂直出發給予證明，而線線垂直的尋找與論證，一般從兩個方面，一是利用平幾知識，如本題經解三角形可得，再根據中點條件得平行條件，從而可得．二是利用線面位置關系有關定理進行轉化，如本題利用面面垂直的性質定理可得線面垂直，再根據線面垂直性質定理可得線線垂直.（Ⅱ）解決有關線面角的問題，一般利用空間向量數量積進行處理比較方便，先根據條件建立空間直角坐標系，設立各點坐標，利用方程組解出面的法向量，再根據向量數量積求出直線向量與法向量夾角余弦值，最后根據線面角與向量夾角之間關系列等量關系，求出比值.

試題解析：

（Ⅰ）證明：在平行四邊形中，因為， ，

所以．由分別為的中點，得，

所以．

因為側面底面，且，所以底面．

又因為底面，所以．

又因為， 平面， 平面，

所以平面．

（Ⅱ）解：因為底面， ，所以兩兩垂直，

以分別為、、，建立空間直角坐標系，

則，

所以， ， ，

設，則，

所以， ，易得平面的法向量．

設平面的法向量為，由， ，得

令， 得．

因為直線與平面所成的角和此直線與平面所成的角相等，

所以，即，所以 ，

解得，或（舍）． 綜上所得：