Question

已知f（x）=x-sinx，求證：若x，θ∈（0，π），則

2f(θ)+f(x)

3

≥f（

2θ+x

3

）．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：證明題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：構(gòu)造函數(shù)g（x）=

2f(θ)+f(x)

3

-f（

2θ+x

3

），求導(dǎo)g′（x）=

1

3

（1-cosx）-

1

3

（1-cos

2θ+x

3

）=

1

3

（cos

2θ+x

3

-cosx），從而可得g_min（x）=g（θ）=0；從而證明．

解答： 證明：構(gòu)造函數(shù)g（x）=

2f(θ)+f(x)

3

-f（

2θ+x

3

），
則g′（x）=

1

3

（1-cosx）-

1

3

（1-cos

2θ+x

3

）
=

1

3

（cos

2θ+x

3

-cosx）
又∵y=cosx在（0，π）上單調(diào)，
故

2θ+x

3

=x；故x=θ；
∴x∈（0，θ），g′（x）＜0，x∈（θ，π），g′（x）＞0；
故g（x）在（0，θ）上單調(diào)遞減，在（θ，π）上單調(diào)遞增；
∴g_min（x）=g（θ）=0；
∴x∈[0，π]時(shí)，g（x）≥g（θ）=0；
故若x，θ∈（0，π），則

2f(θ)+f(x)

3

≥f（

2θ+x

3

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．