Question

已知函數f（x）=alnx+bx（a，b∈R）在x=

1

2

處取得極值，且曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線與直線x-y+1=0垂直．
（1）求實數a、b的值；
（2）若對任意x∈[1，+∞），不等式f（x）≤（m-2）x-

m

x

恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的極值,利用導數求閉區間上函數的最值,利用導數研究曲線上某點切線方程

專題：計算題,函數的性質及應用,導數的綜合應用

分析：（1）求導f′（x）=

a

x

+b，從而可得f′（

1

2

）=2a+b=0，f′（1）=-1；從而求得．
（2）不等式f（x）≤（m-2）x-

m

x

可化為lnx≤mx-

m

x

；即lnx≤m（x-

1

x

）；再求導可得．

解答： 解：（1）∵f（x）=alnx+bx，
∴f′（x）=

a

x

+b；
∵函數f（x）=alnx+bx（a，b∈R）在x=

1

2

處取得極值，
f′（

1

2

）=2a+b=0；
又∵曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線與直線x-y+1=0垂直，
∴f′（1）=-1；
即f′（1）=a+b=-1；
解得，a=1，b=-2；
（2）不等式f（x）≤（m-2）x-

m

x

可化為
lnx≤mx-

m

x

；
即lnx≤m（x-

1

x

）；
當x=1時，恒成立；
當x＞1時，m≥

lnx

x- 1 x

=

xlnx

x2-1

；
令h（x）=

xlnx

x2-1

，
h′（x）=

(lnx+1)(x2-1)-2x•xlnx

(x2-1)2

=

x2-x2lnx-lnx-1

(x2-1)2

；
令m（x）=x²-x²lnx-lnx-1，m′（x）=2x-2xlnx-x-

1

x

=

x2-2x2lnx-1

x

；
令n（x）=x²-2x²lnx-1，n′（x）=2x-4xlnx-2x=-4xlnx＜0；
故n（x）=x²-2x²lnx-1在（1，+∞）上是減函數，
n（x）＜n（1）=0；
故m′（x）＜0；
故m（x）=x²-x²lnx-lnx-1在（1，+∞）上是減函數，
故m（x）＜m（1）=0；
故h′（x）＜0；
故h（x）=

xlnx

x2-1

在（1，+∞）上是減函數，

lim

x→1

xlnx

x2-1

=

lim

x→1

lnx+1

2x

=

1

2

；
故m≥

1

2

．
故實數m的取值范圍為[

1

2

，+∞）．

點評：本題考查了導數的綜合應用及恒成立問題的應用，屬于中檔題．