Question

【題目】已知函數.

(I) 當時，求函數的單調區間;

(II) 當時，恒成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1)見解析；（2）見解析.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）對函數求導，令，由，可得有兩個不同解，結合函數的定義域，即可求得函數的單調區間；（Ⅱ）當時，恒成立等價于當時，恒成立，令，求導得，設，利用導數研究函數的單調性，從而可確定，然后對分類討論，即可求得的取值范圍.

試題解析：（Ⅰ）∵，函數定義域為：

∴

令，由可知，

從而有兩個不同解.

令，則

當時，；當時，，

所以函數的單調遞增區間為，

單調遞減區間為.

（Ⅱ）由題意得，當時，恒成立.

令，求導得，

設，則，

∵

∴

∴，

∴在上單調遞增，即在上單調遞增，

∴

①當時，，

此時，在上單調遞增，而.

∴恒成立，滿足題意.

②當時，，而

根據零點存在性定理可知，存在，使得.

當時，單調遞減；

當時，，單調遞增.

∴有，

∴恒成立矛盾

∴實數的取值范圍為