Question

已知函數(shù)f（x）=x³+3ax²+3bx+c在x=2處有極值，其圖象在x=1處的切線平行于直線6x+2y+5=0，求函數(shù)f（x）的解析式．

Answer 1

考點：函數(shù)解析式的求解及常用方法,利用導數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：根據極值點是導函數(shù)對應方程的根，可知x=2為f′（x）=0的根，結合導數(shù)的幾何意義有k=f′（x）|_x=1，列出關于a，b的方程組，求解可得到y(tǒng)的解析式；

解答： 解：∵函數(shù)f（x）=x³+3ax²+3bx+c，
∴f′（x）=3x²+6ax+3b，
∵函數(shù)y=x³+3ax²+3bx+c在x=2處有極值，
∴當x=2時，y′=0，即12+12a+3b=0，①
∵函數(shù)圖象在x=1處的切線與直線6x+2y+5=0平行，
∴k=f′（x）|_x=1=3+6a+3b=-3，②
聯(lián)立①②，解得a=-1，b=0，
∴函數(shù)f（x）=x³-3x²+c，
函數(shù)f（x）的解析式：f（x）=x³-3x²+c．

點評：本題主要考查函數(shù)在某點取得極值的條件和導數(shù)的幾何意義，考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的極值，求函數(shù)極值的步驟是：先求導函數(shù)，令導函數(shù)等于0，求出方程的根，確定函數(shù)在方程的根左右的單調性，根據極值的定義，確定極值點和極值．