Question

⊙O與⊙D相交于A，B兩點，BC是⊙D的切線，點C在⊙O上，且AB=BC．若△ABC的面積為S，則⊙D的半徑的最小值是

 

．

Answer 1

考點：圓與圓的位置關系及其判定

專題：立體幾何

分析：設圓O的半徑為a，BO的延長線交AC于E，設AC=2y，（0＜y≤a），即可求證△BD0∽△ABC，進而可求r的最小值．

解答： 解：設圓O的半徑為a，BO的延長線交AC于E，
則BE⊥AC，
設AC=2y，（0＜y≤a），OE=x，AB=1，
則a²=x²+y²，
S=y（a+x），
1²=y²+（a+x）²=y²+a²+2ax+x²=2a²+2ax=2a（a+x）=

2aS

y

，
∵∠ABC=2∠OBA=2∠OAB=∠BDO，AB=BC，DB=DO，
∴△BD0∽△ABC，
則

BD

AB

=

BO

AC

，即

r

l

=

a

2y

，
∴r²=

a2l2

4y2

=

a2

4y2

×

2aS

y

=

S

2

×(

a

y

)3≥

S

2

，
即r≥

2S

2

，
故r=

al

2y

，其中當a=y取等號，
這時AC是圓O的直徑，故⊙D的半徑的最小值是

2S

2

，
故答案為：

2S

2

．

點評：本題主要考查相似三角形的應用，考查幾何關系的證明，考查基本不等式的應用，綜合性較強．