Question

已知定義在區間[0，1]上的兩個函數f（x）和g（x），其中f（x）=x²-ax+2（a≥0），g（x）=-

1

x+1

+1．
（1）求函數f（x）的最小值m（a）；
（2）若對任意x₁，x₂∈[0，1]，f（x₂）＞g（x₁）恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：二次函數的性質

專題：函數的性質及應用

分析：（1）根據二次函數的性質通過討論a的范圍，從而得到函數的最小值；（2）由題意得不等式組解出即可．

解答： 解：（1）由f（x）=（x-

a

2

）²+2-

a2

4

得：
m（a）=

2- a2 4 ，0≤a＜2 3-a，a≥2.

；
（2）易知函數g（x）在[0，1]上為增函數，值域為[0，

1

2

]，
由題設，得f（x₂）_min＞g（x₁）_max，
故

0≤a＜2 2- a2 4 ＞ 1 2

或

a≥2 3-a＞ 1 2

，
解得0≤a＜

5

2

，
所求a的取值范圍為[0，

5

2

）．

點評：本題考查了二次函數的性質，考查了函數的最值問題，是一道基礎題．