Question

設函數f（x）=sin（ωx-

π

6

）-2cos²

ωx

2

+1（ω＞0），直線y=

3

與函數f（x）圖象相鄰兩公共點的距離為π
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，若點（

B

2

，0）是函數y=f（x）圖象的一個對稱中心，且b=3，sinA=3sinC，求a，c的值．

Answer 1

考點：三角函數中的恒等變換應用,正弦函數的圖象

專題：三角函數的圖像與性質

分析：（Ⅰ）利用兩角和差的正弦公式以及三角函數的倍角公式將函數進行化簡，結合函數的周期公式即可求ω的值；
（Ⅱ）根據條件求出B，利用正弦定理和余弦定理進行求解即可．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=sin（ωx-

π

6

）-2cos²

ωx

2

+1
=sinωxcos

π

6

-cosωxsin

π

6

-cosωx
=

3

2

sinωx-

3

2

cosωx
=

3

（

1

2

sinωx-

3

2

cosωx）
=

3

sin（ωx-

π

3

）．
∵直線y=

3

與函數f（x）圖象相鄰兩公共點的距離為π
∴函數f（x）的周期T=2π=

2π

ω

，
解得ω=1；
（Ⅱ）∵ω=1，∴f（x）=

3

sin（x-

π

3

）．
∵點（

B

2

，0）是函數y=f（x）圖象的一個對稱中心，
∴

B

2

-

π

3

=kπ，即B=2kπ+

2π

3

，
則當k=0時，B=

2π

3

，
∵sinA=3sinC，∴由正弦定理得a=3c，
∵b=3，∴b²=a²+c²-2accos

2π

3

，
即9=9c²+c²+2×3c×c×

1

2

=13c²，
即c²=

9

13

，解得c=

3 13

13

，a=

9 13

13

．

點評：本題主要考查三角函數的圖象和性質以及正弦定理和余弦函數的應用，考查學生的運算能力．