Question

【題目】已知正項數列為等比數列，等差數列的前項和為，且滿足：

.

（1）求數列，的通項公式；

（2）設，求；

（3）設，問是否存在正整數，使得.

Answer 1

【答案】(1)；(2)；(3).

【解析】

試題分析：(1)借助題設條件運用等差數列的有關知識建立方程組求解；(2)借助題設運用錯位相減法求和；(3)依據題設運用分類整合思想分析推證和探求.

試題解析：

（1）因為數列為等差數列，且，

即，解得，公差為3，．．．．．．．．．．．．．2分

所以，得．．．．．．．．．．．．．．3分

又，

所以．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分

（2），．．．．．．．．．①

則，．．．．．．．．．．．．．．②

將①—②得：

所以．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分

（3）因為，

當時，，不等，．．．．．．．．．．．9分

當時，，

成立，．．．．．．．．．．．．．．．10分

當且為奇數時，為偶數，為奇數，

所以為偶數，為奇數，不成立，．．．．．．．．．．．．．12分

當，且為偶數時，若，

即，．．．．．．．．．．．．．．．．．．13分

得．．．．．．．．．．．．．（*）

因為，所以（*）不成立．．．．．．．15分

綜上得．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．16分