【題目】已知函數
，曲線在點
處的切線與直線
垂直.
注：
為自然對數的底數.
（1）若函數
在區間
上存在極值，求實數
的取值范圍；
（2）求證：當
時，
.
【答案】（1）
；（2）證明見解析.
【解析】
試題分析：（1）首先利用切線的斜率建立方程，求出
；利用導數求得函數的極值點，極值點介于
之間，由此求得
的取值范圍；（2）先用分析法，將原不等式等價變形為
，利用導數求出左邊函數的最小值和右邊函數的最大值即可證得原不等式成立.
試題解析：
（1） 因為
，所以
又據題意，得
，所以
，所以
所以
，
所以
當
時，
，
為增函數；
當
時，
，為減函數.
所以函數僅當
時，取得極值
又函數在區間
上存在極值，所以
，所以
.
故實數
的取值范圍是
（2）當
時，
，即為.
令
，則
.
再令
，則
.
又因為，所以
.
所以
在
上是增函數.
又因為
.
所以當時，
.
所以
在區間上是增函數.
所以當時，
，又
，故
令
，則
.
因為，所以
.
所以當時，
.故函數
在區間
上是減函數.
又
，
所以當時，
，
所以
，即
.
名校課堂系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數
的最小正周期為
.
（1）求函數
的單調增區間；
（2）將函數
的圖象向左平移
個單位，再向上平移1個單位，得到函數
的圖象，若
在
上至少含有10個零點，求
的最小值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】設l，m是兩條不同的直線，α是一個平面，則下列命題正確的是（ ）
A. 若l⊥m，mα，則l⊥α
B. 若l⊥α，l∥m，則m⊥α
C. 若l∥α，mα，則l∥m
D. 若l∥α，m∥α，則l∥m
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】給出下列四個關于數列命題：
（1）若
是等差數列，則三點
、
、
共線；
（2）若
是等比數列，則
、
、
(
)也是等比數列；
（3）等比數列
的前n項和為
，若對任意的
，點
均在函數
(
， 
均為常數)的圖象上，則r的值為
.
（4）對于數列
，定義數列
為數列
的“差數列”，若
， 
的“差數列”的通項為
，則數列
的前
項和
其中正確命題的個數是 （ ）
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】設各項均為正數的數列
的前n項和為
，滿足
，且
，公比大于1的等比數列
滿足
， 
.
（1）求證數列
是等差數列，并求其通項公式；
（2）若
，求數列
的前n項和
；
（3）在（2）的條件下，若
對一切正整數n恒成立，求實數t的取值范圍.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
的焦距為
,其上下頂點分別為
,點
.
（1）求橢圓
的方程以及離心率；
（2）點
的坐標為
,過點
的任意作直線
與橢圓相交于
兩點，設直線
的斜率依次成等差數列，探究
之間是否存在某種數量關系，若是請給出的關系式，并證明；若不是，請說明理由.
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