Question

【題目】設函數(shù)f（x）=x3+ax2+bx+c．
（1）求曲線y=f（x）在點（0，f（0））處的切線方程；
（2）設a=b=4，若函數(shù)f（x）有三個不同零點，求c的取值范圍；
（3）求證：a2﹣3b＞0是f（x）有三個不同零點的必要而不充分條件．

Answer 1

【答案】
（1）

解：函數(shù)f（x）=x3+ax2+bx+c的導數(shù)為f′（x）=3x2+2ax+b，可得y=f（x）在點（0，f（0））處的切線斜率為k=f′（0）=b，切點為（0，c），可得切線的方程為y=bx+c

（2）

解：設a=b=4，即有f（x）=x3+4x2+4x+c，

由f（x）=0，可得﹣c=x3+4x2+4x，

由g（x）=x3+4x2+4x的導數(shù)g′（x）=3x2+8x+4=（x+2）（3x+2），

當x＞﹣ 或x＜﹣2時，g′（x）＞0，g（x）遞增；

當﹣2＜x＜﹣ 時，g′（x）＜0，g（x）遞減．

即有g（x）在x=﹣2處取得極大值，且為0；

g（x）在x=﹣ 處取得極小值，且為﹣ ．

由函數(shù)f（x）有三個不同零點，可得﹣ ＜﹣c＜0，

解得0＜c＜ ，

則c的取值范圍是（0， ）

（3）

證明：若f（x）有三個不同零點，令f（x）=0，

可得f（x）的圖象與x軸有三個不同的交點．

即有f（x）有3個單調區(qū)間，

即為導數(shù)f′（x）=3x2+2ax+b的圖象與x軸有兩個交點，

可得△＞0，即4a2﹣12b＞0，即為a2﹣3b＞0；

若a2﹣3b＞0，即有導數(shù)f′（x）=3x2+2ax+b的圖象與x軸有兩個交點，

當c=0，a=b=4時，滿足a2﹣3b＞0，

即有f（x）=x（x+2）2，圖象與x軸交于（0，0），（﹣2，0），則f（x）的零點為2個．

故a2﹣3b＞0是f（x）有三個不同零點的必要而不充分條件．

【解析】（1）求出f（x）的導數(shù)，求得切線的斜率和切點，進而得到所求切線的方程；
（2）由f（x）=0，可得﹣c=x3+4x2+4x，由g（x）=x3+4x2+4x，求得導數(shù)，單調區(qū)間和極值，由﹣c介于極值之間，解不等式即可得到所求范圍；（3）先證若f（x）有三個不同零點，令f（x）=0，可得單調區(qū)間有3個，求出導數(shù)，由導數(shù)的圖象與x軸有兩個不同的交點，運用判別式大于0，可得a2﹣3b＞0；再由a=b=4，c=0，可得若a2﹣3b＞0，不能推出f（x）有3個零點．
不同考查導數(shù)的運用：求切線的方程和單調區(qū)間、極值，考查函數(shù)的零點的判斷，注意運用導數(shù)求得極值，考查化簡整理的圓能力，屬于中檔題．