Question

【題目】已知橢圓的左焦點為，上頂點為為坐標原點，橢圓的離心率且的面積為.

（1）求橢圓的方程；

（2）設線段的中點為，經過的直線與橢圓交于兩點， ，若點關于軸的對稱點在直線上，求直線方程.

Answer 1

【答案】(1) ；(2) 或.

【解析】試題分析：

(1)由題意結合橢圓中的幾何關系計算可得，則橢圓方程為 .

(2)由題意可知當垂直于軸時，根據橢圓的對稱性，滿足題意，

當不垂直于軸時，設 交橢圓于，聯立直線方程與橢圓方程可得，由題意有，由斜率公式結合韋達定理整理計算可得： ，則直線方程為，

即所在的直線方程為或.

試題解析：

（1）因為，所以，

因為 ，所以，

因為，所以，所以，所以，

所以 .

（2）的中點為，當垂直于軸時，根據橢圓的對稱性，顯然滿足，

即直線的方程為，

當不垂直于軸時，設 交橢圓于，

，

所以，

因為點關于軸對稱點在直線上，所以，

，

故，所以，

綜上可知， 所在的直線方程為或.