【題目】在如圖所示的幾何體中，四邊形
是等腰梯形， 
， 
， 
平面
， 
， 
.
（1）求證： 
；
（2）求二面角
的余弦值.
【答案】(1)證明見解析；(2) 
.
【解析】試題分析：
(1)由題意結合角的關系可得
， 
，由線面垂直的性質可得
，故
平面
， 
.
(2)結合(1)的結論可知
兩兩垂直，以
為坐標原點，分別以
所在的直線為
軸， 
軸， 
軸建立空間直角坐標系，計算可得平面
的一個法向量為
，而
是平面
的一個法向量，據此計算可得二面角
的余弦值為
.
試題解析：
（1）證明：因為四邊形
是等腰梯形， 
， 
.所以
.
又
，所以
，因此， 
， 
，
平面
， 
，所以
， 
，
所以
平面
；所以
.
（2）由（1）知， 
，同理
，
又
平面
，因此
兩兩垂直，以
為坐標原點，分別以
所在的直線為
軸， 
軸， 
軸建立如圖的空間直角坐標系，
不妨設
，則
， 
， 
， 
，因此
， 
.
設平面
的一個法向量為
，則
， 
，∴
，
所以
，取
，則
，
由于
是平面
的一個法向量，
則
， 
，
所以二面角
的余弦值為
.
通城學典默寫能手系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某大學志愿者協會有6名男同學，4名女同學，在這10名同學中，3名同學來自數學學院，其余7名同學來自物理﹑化學等其他互不相同的七個學院，現從這10名同學中隨機選取3名同學，到希望小學進行支教活動（每位同學被選到的可能性相同）.
(1)求選出的3名同學是來自互不相同學院的概率；
(2)設
為選出的3名同學中女同學的人數，求隨機變量的分布列.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某企業準備推出一種花卉植物用于美化城市環境，為評估花卉的生長水平，現對該花卉植株的高度（單位：厘米）進行抽查，所得數據分組為
，據此制作的頻率分布直方圖如圖所示.
（1）求出直方圖中的
值；
（2）利用直方圖估算花卉植株高度的中位數；
（3）若樣本容量為32，現準備從高度在
的植株中繼續抽取2顆做進一步調查，求抽取植株來自同一組的概率.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
的左焦點為
，上頂點為
為坐標原點，橢圓的離心率
且
的面積為
.
（1）求橢圓的方程；
（2）設線段
的中點為
，經過
的直線
與橢圓交于
兩點， 
，若點
關于
軸的對稱點在直線
上，求直線
方程.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
的兩個焦點與短軸的一個端點是等邊三角形的三個頂點，且長軸長為4．
求橢圓E的方程；
若A是橢圓E的左頂點，經過左焦點F的直線l與橢圓E交于C，D兩點，求
與
為坐標原點
的面積之差絕對值的最大值．
已知橢圓E上點
處的切線方程為
，T為切點
若P是直線
上任意一點，從P向橢圓E作切線，切點分別為N，M，求證：直線MN恒過定點，并求出該定點的坐標．
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