Question

【題目】已知函數f（x）= ．
（1）判斷函數f（x）在區間（0，1）和[1，+∞）上的單調性（不必證明）；
（2）當0＜a＜b，且f（a）=f（b）時，求 的值；
（3）若存在實數a，b（1＜a＜b）使得x∈[a，b]時，f（x）的取值范圍是[ma，mb]（m≠0），求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：由函數f（x）的解析式可得，在（0，1）上，函數為減函數；

在[1，+∞）上函數為增函數．

（2）解：∵當0＜a＜b，且f（a）=f（b）時，∴ ﹣1=1﹣ ，

∴ =2．

（3）若存在實數a，b（1＜a＜b）使得x∈[a，b]時，f（x）的取值范圍是[ma，mb]（m≠0），

則函數f（x）在[a，b]上是增函數，故[a，b]（1，+∞）．

可得1﹣ =ma，1﹣ mb，故方程1﹣ =mx有2個大于1的不等實數根，

即mx2﹣x+1=0有2個大于1的不等實數根．

令h（x）=mx2﹣x+1，則有 ，求得0＜m＜ ．

【解析】（1）根據函數的解析式判斷函數在區間（0，1）和[1，+∞）上的單調性．（2）由題意可得， ﹣1=1﹣ ，從而求得 的值．（3）由題意可得1﹣ =ma，1﹣ mb，故方程1﹣ =mx有2個大于1的不等實數根，即mx2﹣x+1=0有2個大于1的不等實數根．令h（x）=mx2﹣x+1，則由 求得m的范圍．
【考點精析】本題主要考查了函數單調性的性質的相關知識點，需要掌握函數的單調區間只能是其定義域的子區間 ,不能把單調性相同的區間和在一起寫成其并集才能正確解答此題．