Question

直棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是直角梯形，∠BAD=∠ADC=90°，AB=2AD=2CD=2．
（1）求證：AC⊥平面BB₁C₁C；
（2）若P為A₁B₁的中點，求證：DP∥平面ACB₁．

Answer 1

分析：（1）直棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，由BB₁⊥平面ABCD，知BB₁⊥AC，有∠BAD=∠ADC=90°，知AB=2AD=2CD=2，由此能夠證明AC⊥平面BB₁C₁C．
（2）由P為A₁B₁的中點，知PB₁∥AB，且PB1=

1

2

AB，由此能夠證明DP∥面ACB₁．

解答：證明：（1）直棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
BB₁⊥平面ABCD，
∴BB₁⊥AC，
∵∠BAD=∠ADC=90°，
AB=2AD=2CD=2，
∴AC=

2

，∴BC=

2

，∴BC⊥AC，
∴AC⊥平面BB₁C₁C．
（2）由P為A₁B₁的中點，知PB₁∥AB，
且PB1=

1

2

AB，
∵DC∥AB，DC=

1

2

AB，
∴DC∥PB₁，且DC=PB₁，
∴DCB₁P為平行四邊形，從而CB₁∥DP，
∵CB₁?面ACB₁，DP?面ACB₁，
∴DP∥面ACB₁．

點評：本題考查直線與平面垂直的證明和直線與平面平行的證明，解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地化空間問題為平面問題．