Question

如圖，在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AD=2，DC=2

3

，AA₁=

3

，AD⊥DC，AC⊥BD垂足為E．
（Ⅰ）求證BD⊥A₁C；
（Ⅱ）求二面角A₁-BD-C₁的大小；
（Ⅲ）求異面直線AD與BC₁所成角的大小．

Answer 1

分析：解法一：
（1）在直四棱柱ABCD-AB₁C₁D₁中，由AA₁⊥底面ABCD可知：AC是A₁C在平面ABCD上的射影．因為BD⊥AC，所以BD⊥A₁C；
（2）二面角的度量關鍵在于作出它的平面角，常用的方法就是三垂線定理．連接A₁E，C₁E，A₁C₁．與（I）同理可證BD⊥A₁E，BD⊥C₁E，所以∠A₁EC₁為二面角A₁-BD-C₁的平面角；
（3）求異面直線所成的角，一般有兩種方法，一種是幾何法，其基本解題思路是“異面化共面，認定再計算”，即利用平移法和補形法將兩條異面直線轉化到同一個三角形中，結合余弦定理來求．還有一種方法是向量法，即建立空間直角坐標系，利用向量的代數(shù)法和幾何法求解．本題采用的是“幾何法”：過B作BF∥AD交AC于F，連接FC₁，則∠C₁BF就是AD與BC₁所成的角．
解法二：
（1）同解法一；
（2）以D為坐標原點，DA，DC，DD₁所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系．連接A₁E，C₁E，A₁C₁，與（1）同理可證，BD⊥A₁E，BD⊥C₁E，所以∠A₁EC₁為二面角A₁-ED-C₁的平面角．因為

EA

1⊥

EC1

，所以EA₁⊥EC₁．則二面角A₁-ED-C₁的大小為90°．
解法三：
（1）同解法一；
（2）建立空間直角坐標系，坐標原點為E．連接A₁E，C₁E，A₁C₁．與（Ⅰ）同理可證BD⊥A₁E，BD⊥C₁E，所以∠A₁EC₁為二面角A₁-BD-C₁的平面角．由E（0，0，0）A₁（0，-1，

3

），C₁（0，3，

3

）．因為

EA

1⊥

EC1

，所以EA₁⊥EC₁．則二面角A₁-ED-C₁的大小為90°．
解法二、三都是用的“向量法”，只是空間直角坐標系建立的位置不同，這樣各個點的坐標也會隨之改變．這種解法的好處就是：（1）解題過程中較少用到空間幾何中判定線線、面面、線面相對位置的有關定理，因為這些可以用向量方法來解決．（2）即使立體感稍差一些的學生也可以順利解出，因為只需畫個草圖以建立坐標系和觀察有關點的位置即可．

解答：解：法一：
（I）在直四棱柱ABCD-AB₁C₁D₁中，
∵AA₁⊥底面ABCD．∴AC是A₁C在平面ABCD上的射影．
∵BD⊥AC．∴BD⊥A₁C；
（II）連接A₁E，C₁E，A₁C₁．
與（I）同理可證BD⊥A₁E，BD⊥C₁E，
∴∠A₁EC₁為二面角A₁-BD-C₁的平面角．
∵AD⊥DC，∴∠A₁D₁C₁=∠ADC=90°，
又A₁D₁=AD=2，D₁C₁=DC=2

3

，AA₁=

3

且AC⊥BD，
∴A₁C₁=4，AE=1，EC=3，∴A₁E=2，C₁E=2

3

，
在△A₁EC₁中，A₁C₁²=A₁E²+C₁E²，∴∠A₁EC₁=90°，
即二面角A₁-BD-C₁的大小為90°．

（III）過B作BF∥AD交AC于F，連接FC₁，
則∠C₁BF就是AD與BC₁所成的角．
∵AB=AD=2，BD⊥AC，AE=1，
∴BF=2，EF=1，F(xiàn)C=2，BC=DC，∴FC₁=

7

，BC₁=

15

，
在△BFC₁中，cos∠C₁BF=

15+4-7

1•2• 15

=

15

5

，∴∠C₁BF=arccos

15

5

即異面直線AD與BC₁所成角的大小為arccos

15

5

．
法二：
（Ⅰ）同解法一
（Ⅱ）如圖，以D為坐標原點，DA，DC，DD₁所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系．

連接A₁E，C₁E，A₁C₁．
與（1）同理可證，BD⊥A₁E，BD⊥C₁E，
∴∠A₁EC₁為二面角A₁-ED-C₁的平面角．
由A₁（2，0，

3

）C₁（0，2

3

，

3

）E（

3

2

，

3

2

，0）
得

EA

1=（

1

2

，-

3

2

，

3

），

EC1

=（-

3

2

，

3 3

2

，

3

）
∴

EA

1•

EC1

=-

3

4

-

9

4

+3=0，
∴

EA

1⊥

EC1

，即EA₁⊥EC₁．
∴二面角A₁-ED-C₁的大小為90°
（Ⅲ）如圖，由D（0，0，0），A（2，0，0），C₁（0，2

3

，

3

），B（3，

3

，0），
得

AD

=（-2，0，0），

BC1

=（-3，

3

，

3

），
∴

AD

•

BC1

=6，|

AD

|•

BC1

=6，|

AD

|=2，|

BC1

|=

15

∴cos（

AD

，

BC1

）=

AD ， BC1

| AD || BC1 |

=

6

2 15

=

15

5

，
∵異面直線AD與BC₁所成角的大小為arccos

15

5

．
法三：
（Ⅰ）同解法一．
（Ⅱ）如圖，建立空間直角坐標系，坐標原點為E．連接A₁E，C₁E，A₁C₁．

與（Ⅰ）同理可證BD⊥A₁E，BD⊥C₁E，
∴∠A₁EC₁為二面角A₁-BD-C₁的平面角．
由E（0，0，0）A₁（0，-1，

3

），C₁（0，3，

3

）．
得

EA1

（0，-1，

3

），

EC1

=（0，3，

3

）．
∵

EA1

•

EC1

=-3+3=0，
∴

EA1

⊥

EC1

即EA₁⊥EC₁，
∴二面角A₁-BD-C₁的大小為90°．

點評：本小題主要考查棱柱的結構特征，二面角和線面關系等基本知識，同時考查空間想象能力和推理、運算能力．