Question

（本小題滿分14分）
設橢圓其相應于焦點的準線方程為.
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）已知過點傾斜角為的直線交橢圓于兩點，求證：
;
（Ⅲ）過點作兩條互相垂直的直線分別交橢圓于和,求 的最小值

Answer 1

（1）橢圓的方程為；（2）同解析（3）取得最小值

（1）由題意得：


橢圓的方程為
(2)方法一：
由（1）知是橢圓的左焦點，離心率
設為橢圓的左準線。則
作，與軸交于點H(如圖)
點A在橢圓上




同理
。
方法二：
當時，記，則
將其代入方程  得
設  ，則是此二次方程的兩個根.


   ................(1)
代入（1）式
得      ........................(2)
當時， 仍滿足（2）式。

（3）設直線的傾斜角為，由于由（2）可得
   ，

當時，取得最小值