【題目】已知
，若方程
有2個不同的實根，則實數(shù)
的取值范圍是_____（結(jié)果用區(qū)間表示）．
【答案】
【解析】
由方程的解與函數(shù)圖象的交點個數(shù)的關(guān)系可得
有2個不同的實根等價于
的圖象與直線
的交點個數(shù)為2，由函數(shù)圖象的性質(zhì)及利用導(dǎo)數(shù)求切線方程可設(shè)過原點的直線與相切與點
，由
，則此切線方程為
，又此直線過原點
，則求得
，即切線方程為
再結(jié)合圖象可得實數(shù)
的取值范圍是
，得解.
解：由
，
可得：在
的圖象關(guān)于直線
對稱，
有2個不同的實根等價于的圖象與直線的交點個數(shù)為2，
的圖象與直線的位置關(guān)系如圖所示，
設(shè)過原點的直線與相切與點，
由，
則此切線方程為：，
又此直線過原點，
則求得，
即切線方程為：，
由圖可知：當(dāng)的圖象與直線的交點個數(shù)為2時，
實數(shù)的取值范圍是，
故答案為：
．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】定義：若函數(shù)
在區(qū)間
上的值域為，則稱區(qū)間是函數(shù)的“完美區(qū)間”，另外，定義區(qū)間的“復(fù)區(qū)間長度”為
，已知函數(shù)
，則（ ）
A.
是
的一個“完美區(qū)間”
B.
是的一個“完美區(qū)間”
C.的所有“完美區(qū)間”的“復(fù)區(qū)間長度”的和為
D.的所有“完美區(qū)間”的“復(fù)區(qū)間長度”的和為
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
的中心為原點
，左焦點為
，離心率為
，不與坐標(biāo)軸垂直的直線
與橢圓
交于
兩點.
（1）若
為線段
的中點，求直線的方程.
（2）求點
是直線
上一點，點
在橢圓上，且滿足
，設(shè)直線
與直線
的斜率分別為
，問：
是否為定值？若是，請求出的值；若不是，請說明理由.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】某單位為促進(jìn)職工業(yè)務(wù)技能提升，對該單位120名職工進(jìn)行一次業(yè)務(wù)技能測試，測試項目共5項.現(xiàn)從中隨機(jī)抽取了10名職工的測試結(jié)果，將它們編號后得到它們的統(tǒng)計結(jié)果如下表（表1）所示（“√”表示測試合格，“×”表示測試不合格）.
表1：
編號\測試項目 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
1 | × | √ | √ | √ | √ |
2 | √ | √ | √ | √ | × |
3 | √ | √ | √ | √ | × |
4 | √ | √ | √ | × | × |
5 | √ | √ | √ | √ | √ |
6 | √ | × | × | √ | × |
7 | × | √ | √ | √ | × |
8 | √ | × | × | × | × |
9 | √ | √ | × | × | × |
10 | √ | √ | √ | √ | × |
規(guī)定：每項測試合格得5分，不合格得0分.
（1）以抽取的這10名職工合格項的項數(shù)的頻率代替每名職工合格項的項數(shù)的概率.
①設(shè)抽取的這10名職工中，每名職工測試合格的項數(shù)為
，根據(jù)上面的測試結(jié)果統(tǒng)計表，列出的分布列，并估計這120名職工的平均得分；
②假設(shè)各名職工的各項測試結(jié)果相互獨(dú)立，某科室有5名職工，求這5名職工中至少有4人得分不少于20分的概率；
（2）已知在測試中，測試難度的計算公式為
，其中
為第
項測試難度，
為第項合格的人數(shù)，
為參加測試的總?cè)藬?shù).已知抽取的這10名職工每項測試合格人數(shù)及相應(yīng)的實測難度如下表（表2）：
表2：
測試項目 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
實測合格人數(shù) | 8 | 8 | 7 | 7 | 2 |
定義統(tǒng)計量
，其中為第項的實測難度，
為第項的預(yù)測難度（
）.規(guī)定：若
，則稱該次測試的難度預(yù)測合理，否則為不合理，測試前，預(yù)估了每個預(yù)測項目的難度，如下表（表3）所示：
表3：
測試項目 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
預(yù)測前預(yù)估難度 | 0.9 | 0.8 | 0.7 | 0.6 | 0.4 |
判斷本次測試的難度預(yù)估是否合理.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】某校在一次期末數(shù)學(xué)測試中，為統(tǒng)計學(xué)生的考試情況，從學(xué)校的2000名學(xué)生中隨機(jī)抽取50名學(xué)生的考試成績，被測學(xué)生成績?nèi)拷橛?5分到145分之間（滿分150分），將統(tǒng)計結(jié)果按如下方式分成八組：第一組
，
，第二組
，
，
第八組
，
，如圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖的一部分．
（1）求第七組的頻率，并完成頻率分布直方圖；
（2）用樣本數(shù)據(jù)估計該校的2000名學(xué)生這次考試成績的平均分（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表該組數(shù)據(jù)平均值）；
（3）若從樣本成績屬于第六組和第八組的所有學(xué)生中隨機(jī)抽取2名，求他們的分差的絕對值小于10分的概率．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]
在平面直角坐標(biāo)系
中，直線
的參數(shù)方程為
（
為參數(shù)），以坐標(biāo)原點為極點，
軸的非負(fù)半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線
的極坐標(biāo)方程為
．
（1）求直線的普通方程及曲線的直角坐標(biāo)方程；
（2）設(shè)點
，直線與曲線相交于兩點
，
，求
的值．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】如圖，多面體
中，四邊形
為矩形，二面角
為
，
，
，
，
，
.
（1）求證：
平面
；
（2）
為線段
上的點，當(dāng)
時，求二面角
的余弦值.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】圓錐
（其中
為頂點，
為底面圓心）的側(cè)面積與底面積的比是
，則圓錐與它外接球（即頂點在球面上且底面圓周也在球面上）的體積比為（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
（1）求函數(shù)
的單調(diào)區(qū)間和的極值；
（2）對于任意的
，
，都有
，求實數(shù)
的取值范圍.
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