Question

已知函數，函數．

(I)試求f(x)的單調區間。

(II)若f(x)在區間上是單調遞增函數，試求實數a的取值范圍：

(III)設數列是公差為1．首項為l的等差數列，數列的前n項和為，求證：當時，.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）的單調遞增區間是；的單調遞減區間是；

（Ⅱ）.（Ⅲ）見解析.

【解析】

試題分析：（Ⅰ） 利用導數值非負，得的單調遞增區間是；利用導數值非正，得到的單調遞減區間是；

（Ⅱ）利用在是單調遞增函數，則恒成立，只需恒成立，轉化成

，利用，得到.

（Ⅲ）依題意不難得到，=1+++，

根據時， =+在上為增函數，

可得，從而;

構造函數，利用“導數法”得到, 從而不等式成立.

應用“累加法”證得不等式.

本題解答思路比較明確，考查方法較多，是一道相當典型的題目.

試題解析：（Ⅰ）=，所以，,

因為，，所以，令，，

所以的單調遞增區間是；的單調遞減區間是；4分

（Ⅱ）若在是單調遞增函數，則恒成立，即恒成立

即，因為，所以故.                .7分

（Ⅲ）設數列是公差為1首項為1的等差數列，所以，=1+++，

當時，由（Ⅱ）知：=+在上為增函數，

=-1，當時，，所以+，即

所以;

令，則有，當，有

則,即,所以時,

所以不等式成立.

令且時，

將所得各不等式相加，得

即

（且）．                   13分

考點：應用導數研究函數的單調性，等差數列的通項公式，“累加法”.