Question

【題目】設{an}是公差為d的等差數列，{bn}是公比為q（q≠1）的等比數列．記cn=bn﹣an ．
（1）求證：數列{cn+1﹣cn+d}為等比數列；
（2）已知數列{cn}的前4項分別為9，17，30，53．
①求數列{an}和{bn}的通項公式；
②是否存在元素均為正整數的集合A={n1 ， n2 ， …，nk}，（k≥4，k∈N*），使得數列cn1 ， cn2 ， …，cnk等差數列？證明你的結論．

Answer 1

【答案】
（1）證明：依題意，cn+1﹣cn+d=（bn+1﹣an+1）﹣（bn﹣an）+d

=（bn+1﹣bn）﹣（an+1﹣an）+d=bn（q﹣1）≠0，

從而 ，又c2﹣c1+d=b1（q﹣1）≠0，

∴{cn+1﹣cn+d}是首項為b1（q﹣1），公比為q的等比數列

（2）解：①由（1）得，等比數列{cn+1﹣cn+d}的前3項為8+d，13+d，23+d，

則（13+d）2=（8+d）（23+d），

解得d=﹣3，從而q=2，且 ，

解得a1=﹣4，b1=5，

∴ ；

②假設存在滿足題意的集合A，不妨設l，m，p，r∈A（l＜m＜p＜r），

且cl，cm，cp，cr成等差數列，則2cm=cp+cl，

∵cl＞0，∴2cm=cp+cl ①

若p＞m+1，則p≥m+2，結合①得， ，

則2[52m﹣1+（3m+1）]＞52p﹣1+（3p+1）＞52m+1+3（m+2）+1，

化簡得， ，②

∵m≥2，m∈N*，不難知 ，這與②矛盾，

∴只能p=m+1，同理r=p+l=m+2，

∴cm，cp，cr為數列{cn}的連續三項，從而2cm+1=cm+cm+2，

即2（bm+1﹣am+1）=（bm﹣am）+（bm+2﹣am+2），又2am+1=am+am+2．

故2bm+1=bm+bm+2，又 ，故q=1，這與q≠1矛盾，

∴假設不成立，從而不存在滿足題意的集合A

【解析】（1）依題意，cn+1﹣cn+d=（bn+1﹣an+1）﹣（bn﹣an）+d=（bn+1﹣bn）﹣（an+1﹣an）+d=bn（q﹣1）≠0，利用等比數列的定義，即可證得結論；（2）①由（1）得，等比數列{cn+1﹣cn+d}的前3項為8+d，13+d，23+d，求出d，q，即可求數列{an}和{bn}的通項公式；②利用反證法，假設存在滿足題意的集合A，不妨設l，m，p，r∈A（l＜m＜p＜r），且cl ， cm ， cp ， cr成等差數列，則2cm=cp+cl ， 得出cm ， cp ， cr為數列{cn}的連續三項，從而2cm+1=cm+cm+2 ， 只能q=1，這與q≠1矛盾，即可證明結論．