Question

若定義在[0，1]上的函數y=f（x）同時滿足：①f（x）≥0；②f（1）=1；③若x₁≥0，x₂≥0，且x₁+x₂≤1，則f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂）為“夢函數”
（1）試判斷f（x）=2^x-1是否為“夢函數”；
（2）若函數y=f（x）為“夢函數”，求函數y=f（x）的最大值．

Answer 1

考點：函數的最值及其幾何意義

專題：函數的性質及應用

分析：（1）根據新定義緊扣3個條件判斷即可，（2）關鍵是得出：對于任意x₁，x₂∈[0，1]，且x₁＜x₂，f（x₁）≤f（x₂），函數y=f（x）為單調遞增函數，就能夠確定最大值．

解答： 解：（1）∵f（x）=2^x-1，在[0，1]，
∴①f（x）≥0；②f（1）=1；
又∵若x₁≥0，x₂≥0，且x₁+x₂≤1，2 x1≥1，2 x2≥1，
f（x₁+x₂）-[f（x₁）+f（x₂）]=2 x1+x2-2 x1-2 x2+1=（2 x1-1）（2 x2-1）≥0
∴f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂），
∴f（x）=2^x-1是“夢函數”；
（2）對于任意x₁，x₂∈[0，1]，且x₁＜x₂，
f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）-f（x₂-x₁+x₁）≤f（x₁）-[f（x₂-x₁）+f（x₁））≤-f（x₂-x₁）
∵x₂-x₁＞0，∴f（x₂-x₁）≥0，
∴f（x₁）≤f（x₂），
∴函數y=f（x）為單調遞增函數，
∴函數y=f（x）的最大值為f（1）=1．

點評：本題考查了新定義的函數的概念，運用定義條件，結合單調性確定出最值，需要的變形難度較大．