Question

【題目】已知t為實數，函數，其中

（1）若，求的取值范圍。

（2）當時，的圖象始終在的圖象的下方，求t的取值范圍；

（3）設，當時，函數的值域為，若的最小值為，求實數a的值.

Answer 1

【答案】（1）（2）t＞1（3）a=

【解析】

（1）根據對數函數的圖像與性質化簡即可求解；

（2）構造函數h（x）=f（x）-g（x），根據對數函數的圖象和性質可得，根據二次函數的性質求出t的取值范圍即可；

（3）先判斷函數y=|f（x）|的單調性，令|2loga（2x+2）|=2，即可得到n-m的最小值.

解：（1）由題意得函數g（x）在（0，+∞）上是減函數，

，解得，則x的取值范圍是；

（2）由題意設h（x）=f（x）-g（x）=2loga（2x+t-2）-logax＜0在x∈[1，4]恒成立，

∴2loga（2x+t-2）＜logax，

∵0＜a＜1，x∈[1，4]，

∴只需要2x+t-2＞恒成立，

即恒成立，

∴,

令,

∴,

∴t的取值范圍是t＞1，

（3）∵t=4，0＜a＜1，

∴函數y=|f（x）|=|2loga（2x+2）|在（-1，-）上單調遞減，在（-，+∞）上單調遞增，

∵當x∈[m，n]時，函數y=|f（x）|的值域為[0，2]，且f（-）=0，

∴(等號不同時取到),

令|2loga(2x+2)|=2,得,

又,

∴,

∴n-m的最小值為,

∴a=.