Question

【題目】定義在上的函數，若已知其在內只取到一個最大值和一個最小值，且當時函數取得最大值為；當，函數取得最小值為．

（1）求出此函數的解析式；

（2）是否存在實數，滿足不等式？若存在，求出的范圍（或值），若不存在，請說明理由;

（3）若將函數的圖像保持橫坐標不變縱坐標變為原來的得到函數，再將函數的圖像向左平移個單位得到函數，已知函數的最大值為，求滿足條件的的最小值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，見解析；（3）最小值為

【解析】

（1）利用最大值和最小值可確定，又，可求得；根據，結合的范圍可求得，從而得到解析式；（2）首先保證原式有意義可得到；根據二次函數性質可確定，；由函數在上遞增可確定，解不等式求得結果；（3）根據三角函數伸縮和平移變化得到和；由復合函數單調性可確定當取最大值時，需與同時取得，從而求得，根據確定最小值.

（1），

，

，

解得：，，又

（2）滿足，解得：

同理

由（1）知函數在上遞增

若有

只需要：，即成立即可

存在，使成立

（3）由題意知：，

函數與函數均為單調增函數，且，

當且僅當與同時取得才有函數的最大值為

由得：，

則 ，

又 的最小值為