Question

【題目】在平面直角坐標系中內動點P（x，y）到圓F：x2+（y﹣1）2=1的圓心F的距離比它到直線y=﹣2的距離小1．
（1）求動點P的軌跡方程；
（2）設點P的軌跡為曲線E，過點F的直線l的斜率為k，直線l交曲線E于A，B兩點，交圓F于C，D兩點（A，C兩點相鄰）．
①若 =t ，當t∈[1，2]時，求k的取值范圍；
②過A，B兩點分別作曲線E的切線l1 ， l2 ， 兩切線交于點N，求△ACN與△BDN面積之積的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意，動點P（x，y）到F（0，1）的距離比到直線y=﹣2的距離小1，

∴動點P（x，y）到F（0，1）的距離等于它到直線y=﹣1的距離，

∴動點P的軌跡是以F（0，1）為焦點的拋物線，其方程為x2=4y

（2）解：①由題意知，直線l方程為y=kx+1，代入拋物線得x2﹣4kx﹣4=0，

設（x1，y1），B（x2，y2），則x1+x2=4k，x1x2=﹣4，

∵ =t ，∴t=﹣ ，

∴ =﹣t﹣ +2=﹣4k2，

∴t+ =4k2+2

∵f（t）=t+ 在[1，2]上單調遞增，∴2≤t+ ，

∴ ；

②y= ，y′= ，

∴直線AN：y﹣ x12= x1（x﹣x1），BN：y﹣ x22= x1（x﹣x2），

兩式相減整理可得x= （x1+x2）=2k，

∴N（2k，﹣1），N到直線AB的距離d=2 ，

∵|AC|=|AF|﹣1=y1，|BD|=|BF|﹣1=y2，

∴|AC||BD|=1

∴△ACN與△BDN面積之積= = =1+k2，

當且僅當k=0時，△ACN與△BDN面積之積的最小值為0

【解析】（1）由動點P（x，y）到F（0，1）的距離比到直線y=﹣2的距離小1，可得動點P（x，y）到F（0，1）的距離等于它到直線y=﹣1的距離，利用拋物線的定義，即可求動點P的軌跡W的方程；（2）①由題意知，直線l方程為y=kx+1，代入拋物線得x2﹣4kx﹣4=0，利用條件，結合韋達定理，可得t+ =4k2+2，利用函數的單調性，即可求k的取值范圍；②求出直線AN，BN的方程，表示出面積，即可得出結論．