Question

【題目】橢圓與的中心在原點，焦點分別在軸與軸上，它們有相同的離心率，并且的短軸為的長軸，與的四個焦點構成的四邊形面積是.

(1)求橢圓與的方程；

(2)設是橢圓上非頂點的動點，與橢圓長軸兩個頂點，的連線，分別與橢圓交于，點.

(i)求證：直線，斜率之積為常數；

(ii)直線與直線的斜率之積是否為常數？若是，求出該值；若不是，說明理由.

Answer 1

【答案】(1)，.(2)(i) 見解析(ii).

【解析】試題分析：（1）橢圓離心率，又，所以，設，則根據題中條件可設，于是根據橢圓的對稱性可知，四個焦點構成的四邊形為菱形，面積，解得，可以得到橢圓，；（2）(i)本問考查圓錐曲線中的定點、定值問題，分析題意，設，而，，所以，，于是，又因為，代入上式易求；(ii)根據(i)問，可先證明為定值，再證明為定值，于是可以得到為定值，由于，，所以可以得為定值.

試題解析：(1)依題意，設，，由對稱性，四個焦點構成的四邊形為菱形，且面積，解得：.

所以橢圓，.

(2)(i)設，則，，.

，.

所以：.

直線，斜率之積為常數.

(ii)設，則.

，，

所以：，同理：，

所以：，由，，結合(i)有

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