Question

【題目】函數f（x）=aln（x2+1）+bx，g（x）=bx2+2ax+b，（a＞0，b＞0）．已知方程g（x）=0有兩個不同的非零實根x1 ， x2 ．
（1）求證：x1+x2＜﹣2；
（2）若實數λ滿足等式f（x1）+f（x2）+3a﹣λb=0，求λ的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）證明：由方程g（x）=bx2+2ax+b=0有兩個不同的非零實根，

得△=4a2﹣4b2＞0，

因此a＞b＞0，

所以 ＞1；

所以x1+x2= ＜﹣2

（2）解：由（1）知x1x2=1，

f（x1）+f（x2）+3a

=aln[x12x22+（x12+x22）+1]+b（x1+x2）+3a

=aln[（x12+x22）+2]+b（x1+x2）+3a

=aln[（x1+x2）2]+b（x1+x2）+3a

=2aln +a，

由f（x1）+f（x2）+3a﹣λb=0得λ= ln + ，

設t= ＞2，則λ=tlnt+ 是增函數．

因此λ＞2ln2+1

【解析】（1）由方程g（x）=0有兩個不同的非零實根x1 ， x2 ， 可得 ＞1，結合韋達定理可得x1+x2＜﹣2；（2）若實數λ滿足等式f（x1）+f（x2）+3a﹣λb=0，則λ= ln + ，進而可得λ的取值范圍．