Question

若函數(shù)f（x）滿足：在定義域D內(nèi)存在實數(shù)x₀，使得f（x₀+1）=f（x₀）+f（1）成立，則稱函數(shù)f（x）為“1的飽和函數(shù)”．給出下列四個函數(shù)：①f（x）=

1

x

；②f（x）=2^x； ③f（x）=lg（x²+2）；④f（x）=x．其中是“1的飽和函數(shù)”的所有函數(shù)的序號是

 

．

Answer 1

考點：函數(shù)的值

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：利用“1的飽和函數(shù)”的定義和函數(shù)的性質(zhì)求解．

解答： 解：①f（x）=

1

x

，D=（-∞，0）∪（0，+∞），
若f（x）=

1

x

是“1的飽和函數(shù)”，
則存在非零實數(shù)x₀，使得

1

x0+1

=

1

x0

+1，
即x₀²+x₀+1=0，
因為此方程無實數(shù)解，所以函數(shù)f（x）=

1

x

不是“1的飽和函數(shù)”．
②f（x）=2^x，D=R，則存在實數(shù)x₀，使得2x0+1=2x0+2解得x₀=1，
因為此方程有實數(shù)解，
所以函數(shù)f（x）=2^x是“1的飽和函數(shù)”．
③f（x）=lg（x²+2），若存在x，使f（x+1）=f（x）+f（1）
則lg[（x+1）²+2]=lg（x²+2）+lg3
即2x²-2x+3=0，
∵△=4-24=-20＜0，故方程無解．即f（x）=lg（x²+2）不是“1的飽和函數(shù)”．
④f（x）=x，存在x，使得f（x+1）=f（x）+f（1），
即f（x）=x是“1的飽和函數(shù)”．
故答案為：②④．

點評：本題考查“1的飽和函數(shù)”的判斷，是基礎(chǔ)題，解題時要注意函數(shù)的性質(zhì)的合理運用