Question

(本小題滿分14分)
按照某學者的理論，假設一個人生產某產品單件成本為元，如果他賣出該產品的單價為元，則他的滿意度為；如果他買進該產品的單價為元，則他的滿意度為.如果一個人對兩種交易(賣出或買進)的滿意度分別為和，則他對這兩種交易的綜合滿意度為.
現假設甲生產A、B兩種產品的單件成本分別為12元和5元，乙生產A、B兩種產品的單件成本分別為3元和20元，設產品A、B的單價分別為元和元，甲買進A與賣出B的綜合滿意度為，乙賣出A與買進B的綜合滿意度為.
(1)求和關于、的表達式；當時，求證：=；
(2)設，當、分別為多少時，甲、乙兩人的綜合滿意度均最大？最大的綜合滿意度為多少？

Answer 1

（1）=
(2) 即時，甲乙兩人同時取到最大的綜合滿意度為

解： (1)

……4分
當時，,
,    =…………………7分
（2）當時，
………10分
由，
故當即時，…………………13分
甲乙兩人同時取到最大的綜合滿意度為。…………………14分