Question

17、如圖，棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD為菱形，AC∩BD=O，側棱AA₁⊥BD，點F為DC₁的中點．
（I） 證明：OF∥平面BCC₁B₁；
（II）證明：平面DBC₁⊥平面ACC₁A₁．

Answer 1

分析：（I）由已知中底面ABCD為菱形，AC∩BD=O，點F為DC₁的中點．結合三角形中位線定理我們易證明OF∥BC₁，進而結合線面平行的判定定理，我們即可得到OF∥平面BCC₁B₁；
（II）由四邊形ABCD為菱形，根據棱形的性質，我們易得對角線垂直，結合側棱AA₁⊥BD，我們根據線面垂直的判定定理得到BD⊥平面ACC₁A₁，進而根據面面垂直的判定定理得到平面DBC₁⊥平面ACC₁A₁

解答：證明：（I）∵四邊形ABCD為菱形且AC∩BD=O，
∴O是BD的中點．（2分）
又點F為DC₁的中點，
∴在△DBC₁中，OF∥BC₁，（4分）
∵OF?平面BCC₁B₁，BC₁?平面BCC₁B₁，
∴OF∥平面BCC₁B₁．（6分）
（II）∵四邊形ABCD為菱形，
∴BD⊥AC，（8分）
又BD⊥AA₁，AA₁∩AC=A，且AA₁，AC?平面ACC₁A₁，（10分）
∴BD⊥平面ACC₁A₁，（11分）
∵BD?平面DBC₁，
∴平面DBC₁⊥平面ACC₁A₁．（13分）

點評：本題考查的知識點是平面與平面垂直的判定及直線與平面平行的判定，熟練掌握線面平行，線面垂直及面面垂直的判定定理及證明步驟是解答本題的關鍵．