Question

如圖，棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD為菱形，平面AA₁C₁C⊥平面ABCD．?
（1）證明：BD⊥AA₁；?
（2）證明：平面AB₁C∥平面DA₁C₁
（3）在直線CC₁上是否存在點P，使BP∥平面DA₁C₁？若存在，求出點P的位置；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）連BD，則BD⊥AC，再根據面面垂直的性質定理可得：BD⊥平面AA₁C₁C，進而根據線面垂直的性質定理可得：BD⊥AA₁?
（2）連AB₁，B₁C，由棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的性質知：AB₁∥DC₁，AD∥B₁C，AB₁∩B₁C=B₁，A₁D∩DC₁=D，則根據面面平行的判定定理即可證明結論．?
（3）存在這樣的點P，根據平行六面體的性質可得：A₁D∥B₁C，在C₁C的延長線上取點P，使C₁C=CP，連接BP，得到BB₁∥CP，即可得到BP∥A₁D，進而得到線面平行．

解答：證明：（1）連BD，
∵面ABCD為菱形，∴BD⊥AC
因為平面AA₁C₁C⊥平面ABCD，平面AA₁C₁C∩平面ABCD=AC，?
所以BD⊥平面AA₁C₁C，
又因為AA₁?平面AA₁C₁C，
所以BD⊥AA₁?
（2）連AB₁，B₁C，由棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的性質知：AB₁∥DC₁，AD∥B₁C，AB₁∩B₁C=B₁，A₁D∩DC₁=D，
所以由面面平行的判定定理知：平面AB₁C∥平面DA₁C₁?
（3）存在這樣的點P，
因為A₁B₁∥AB∥DC，
所以四邊形A₁B₁CD為平行四邊形．?
所以A₁D∥B₁C，
在C₁C的延長線上取點P，使C₁C=CP，連接BP，
因為B₁B∥CC₁，
所以BB₁∥CP，
所以四邊形BB₁CP為平行四邊形，即BP∥B₁C，
所以BP∥A₁D，
所以BP∥平面DA₁C₁，
所以在直線CC₁上是否存在點P，使BP∥平面DA₁C₁．

點評：本題主要考查線面平行、線線平行、面面平行的判定定理與性質定理，解決此類問題的關鍵是熟練掌握有關定理以及空間幾何體中點、線、面之間的位置關系．