Question

如圖，棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的所有棱長都等于2，∠ABC和∠A₁B₁C₁均為60°，平面AA₁C₁C⊥平面ABCD．
（I）求證：BD⊥AA₁
（II）求二面角D-AA₁-C的余弦值；
（III）在直線CC₁上是否存在點P，使BP∥平面DA₁C₁，若存在，求出點P的位置，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（I）設BD與AC交于O，則BD⊥AC，連接A₁O，以OB，OC，OA₁所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，求出

BD

與

AA1

的坐標，計算它們的數量積從而得到BD⊥AA₁
（II）平面AA₁C₁C的一個法向量為n₁=（1，0，0），求出平面AA₁D的一個法向量n₂，計算兩法向量的余弦值從而得到二面角D-A₁A-C的平面角的余弦值；
（III）假設在直線CC₁上存在點P，使BP∥平面DA₁C₁，設

CP

=λ

CC1

，求出平面DA₁C₁的法向量n₃，根據法向量n₃與

BP

垂直求出λ的值，從而得到點P在C₁C的延長線上，且C₁C=CP．

解答：解：設BD與AC交于O，則BD⊥AC，連接A₁O，在△AA₁O中，AA₁=2，AO=1，∠A₁AO=60°，
所以A₁O²=AA₁²+AO²-2AA₁•AOcos60°=3，
所以AO²+A₁O²=AA₁²，所以A₁O⊥AO．
由于平面AA₁C₁C⊥平面ABCD，所以A₁O⊥平面ABCD．
以OB，OC，OA₁所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則A（0，-1，0），B(

3

，0，0)，C（0，1，0），D(-

3

，0，0)，A1(0，0，

3

)，C1(0，2，

3

)
（I）由于

BD

=(-2

3

，0，0)，

AA1

=(0，1，

3

)，

AA1

•

BD

=0×(-2

3

)+1×0+

3

×0=0，∴BD⊥AA₁
（II）由于OB⊥平面AA₁C₁C，
∴平面AA₁C₁C的一個法向量為n₁=（1，0，0）
設n₂⊥平面AA₁D，則

n2⊥ AA1 n2⊥ AD

，
設n₂=（x，y，z），則

y+ 3 z=0 - 3 x+y=0

取n2=(1，

3

，-1)，∴cos＜n1，n2＞

n1•n2

|n1||n2|

=

5

5

所以，二面角D-A₁A-C的平面角的余弦值為

5

5

（III）假設在直線CC₁上存在點P，使BP∥平面DA₁C₁，設

CP

=λ

CC1

，P(x，y，z)，則(x，y-1，z)=λ(0，1，

3

)，從而有
P(0，1+λ，

3

λ)，

BP

=(-

3

，1+λ，

3

λ)
設n₃⊥平面DA₁C₁，則

n3⊥ A1C1 n3⊥ DA1

，又

A1C1

=(0，2，0)，

DA1

=(

3

，0，

3

)
設n₃=（x₃，y₃，z₃），則

2y3=0 3 x3+ 3 z3=0

，取n₃=（1，0，-1）
因為BP∥平面DA₁C₁，則n3⊥

BP

，即n3•

BP

=-

3

-

3

λ=0，得λ=-1
即點P在C₁C的延長線上，且C₁C=CP

點評：本題主要考查了二面角及其度量，以及平面與平面平行的判定和空間中直線與直線之間的位置關系與空間向量，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力，屬于中檔題．