Question

【題目】已知數列{an}滿足a1=2，an+1=2an﹣1．
（Ⅰ）求數列{an}的通項公式；
（Ⅱ）設bn=n（an﹣1），求數列{bn}的前n項和Sn ．

Answer 1

【答案】解：（I）數列{an}滿足a1=2，an+1=2an﹣1．變形為：an+1﹣1=2（an﹣1）．a1﹣1=1．
∴數列{an﹣1}是等比數列，
∴an﹣1=2n﹣1 ， 解得an=1+2n﹣1 ．
（II）bn=n（an﹣1）=n2n﹣1 ，
∴數列{bn}的前n項和Sn=1+2×2+3×22+…+n2n﹣1 ，
∴2Sn=2+2×22+…+（n﹣1）2n﹣1+n2n ，
∴﹣Sn=1+2+22+…+2n﹣1﹣n2n= ﹣n2n=（1﹣n）2n﹣1，
可得Sn=（n﹣1）2n+1
【解析】（I）數列{an}滿足a1=2，an+1=2an﹣1．變形為：an+1﹣1=2（an﹣1）．利用等比數列的通項公式即可得出．（II）bn=n（an﹣1）=n2n﹣1 ， 利用“錯位相減法”與等比數列的求和公式即可得出．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用數列的前n項和和數列的通項公式的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握數列{an}的前n項和sn與通項an的關系；如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式．