Question

某高校在2013年的自主招生考試成績中隨機抽取100名學生的筆試成績，按成績分組：第1組[160，165），第2組[165，170），第3組[170，175），第4組[175，180），第5組[180，185），得到的頻率分布直方圖如圖所示．
（1）分別求第3、4、5組的頻率；
（2）為了能選拔出最優秀的學生，該校決定在筆試成績高的第3、4、5組中用分層抽樣的方法抽取6名學生進入第二輪面試，問每一組分別抽幾個人．
（3）在這6名學生中隨機抽取2名學生接受甲考官的面試，求第4組至少有一名學生被甲考官面試的概率．

Answer 1

考點：頻率分布直方圖,列舉法計算基本事件數及事件發生的概率

專題：概率與統計

分析：（1）直接根據頻數、頻率、樣本容量三者之間的關系，得到第3組的頻率為0.06×5=0.3，第4組的頻率為0.04×5=0.2，第5組的頻率為0.02×5=0.1；
（2）由分層抽樣可以求得第3、4、5組分別抽取3人、2人、1人進入第二輪面試；
（3）從六位同學中抽兩位同學有15種可能，抽取的是第4組的2位同學有9種可能，所以第4組的2位同學至少有一位同學入選的概率．

解答： 解：（1）由題設可知，第3組的頻率為0.06×5=0.3，
第4組的頻率為0.04×5=0.2，
第5組的頻率為0.02×5=0.1…（3分）
（2）第3組的人數為0.3×100=30，
第4組的人數為0.2×100=20，
第5組的人數為0.1×100=10
因為第3、4、5組共有60名學生，
所以利用分層抽樣在60名學生中抽取6名學生，
每組抽取的人數分別為第3組：

30

60

×6=3，
第4組：

20

60

×6=2
第5組：

10

60

×6=1，
所以第3、4、5組分別抽取3人、2人、1人     …（7分）
（3）設第3組的3名學生分別為A₁、A₂、A₃，
第4組的2名學生分別為B₁、B₂，
第5組的1名學生為C₁，
則從6名學生中抽取兩位學生有：
（A1，A2）、（A1，A3）、（A1，B1）、（A1，B2）、（A1，C1）、（A2，A3）、（A2，B1）、（A2，B2），（A2，C1），（A3，B1），（A3，B2），（A3，C1），（B1，B2），（B1，C1），（B2，C1），共15種可能．
其中第4組的2位學生B₁、B₂至少有一位學生入選的有：
（A1，B1）、（A1，B2）、（A2，B1）、（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2），（B1，B2），（B1，C1），（B2，C1），共9種可能，
所以第4組至少有一名學生被甲考官面試的概率為

9

15

=

3

5

…（12分）

點評：本題重點考查頻率分布直方圖、概率求解方法、頻率、頻數、樣本容量三者之間的關系等知識，屬于中檔題．