Question

已知函數(shù)f（x）在定義域（0，+∞）上是單調(diào)函數(shù)，若對(duì)任意x∈（0，+∞），都有f[f（

1

x

）-x]=2，則不等式f（x）＞2x的解集為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：首先，根據(jù)函數(shù)f（x）在定義域（0，+∞）上是單調(diào)函數(shù)，若對(duì)任意x∈（0，+∞），都有f[f（

1

x

）-x]=2，得到f（

1

x

）-x為一個(gè)常數(shù)，令這個(gè)常數(shù)為n，則f（

1

x

）-x=n，f（n）=2，

解答： 解：根據(jù)題意，得
若對(duì)任意x∈（0，+∞），都有f[f（

1

x

）-x]=2，
得到f（

1

x

）-x為一個(gè)常數(shù)，
以t換

1

x

，得
f（t）-

1

t

=n，
則f（t）-

1

t

=n，f（n）=2，
∴f（t）=

1

t

+n，
∴f（n）=

1

n

+n=2，
∴n=1，
∵f（x）＞2x等價(jià)于
1+

1

x

＞2x，
∴-

1

2

＜x＜1，而定義域?yàn)椋?，+∞）
∴{x|0＜x＜1}，
故答案為：{x|0＜x＜1}，

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)的值，函數(shù)解析式的求法，其中抽象函數(shù)解析式的求法，要注意對(duì)已知條件及未知條件的湊配思想的應(yīng)用．