Question

【題目】已知函數f（x）是定義在R上的奇函數，當x≥0時，f（x）=2x（1﹣x）．
（1）在如圖所給直角坐標系中畫出函數f（x）的草圖，并直接寫出函數f（x）的零點；
（2）求出函數f（x）的解析式．

Answer 1

【答案】解：（1）當x≥0時，由f（x）=2x（1﹣x）=0得x=0或x=1，
∵f（x）是定義在R上的奇函數，
∴當x＜0時，函數的零點為﹣1，
即函數f（x）的零點為0，﹣1，1．
（2）若x＜0，則﹣x＞0，
∵x≥0時，f（x）=2x（1﹣x）．
∴當﹣x＞0時，f（﹣x）=﹣2x（1+x）．
∵f（x）是定義在R上的奇函數，
∴f（﹣x）=﹣2x（1+x）=﹣f（x），
即f（x）=2x（1+x），x＜0．
即f（x）=．

【解析】（1）根據函數奇偶性的性質以及函數零點的定義進行求解即可．
（2）根據函數奇偶性的性質進行轉化求解即可．
【考點精析】本題主要考查了函數奇偶性的性質的相關知識點，需要掌握在公共定義域內，偶函數的加減乘除仍為偶函數；奇函數的加減仍為奇函數；奇數個奇函數的乘除認為奇函數；偶數個奇函數的乘除為偶函數；一奇一偶的乘積是奇函數;復合函數的奇偶性：一個為偶就為偶，兩個為奇才為奇才能正確解答此題．