Question

【題目】在平面直角坐標系中，直線的參數方程為（為參數），以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.

（Ⅰ）求直線的普通方程及曲線的直角坐標方程；

（Ⅱ）已知點是曲線上的任意一點，當點到直線的距離最大時，求經過點且與直線平行的直線的方程.

Answer 1

【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）消去直線的參數即可得到直線的普通方程,利用極坐標和直線坐標互化的公式可得到曲線C的直角坐標方程. （Ⅱ）設直線的方程為，得到當點到直線的距離最大時，為經過圓心與直線垂直的直線與圓的交點，利用點到直線的距離可求出的值.

解：（Ⅰ）直線的參數方程為（為參數），消去即.

因為，，所以極坐標方程化直角坐標方程為：.

（Ⅱ）曲線的方程為，即，圓心，圓心到直線的距離為

點到直線的距離最大時，為過圓心且與直線垂直的直線與圓的交點，此時，點到直線的距離為，

設直線：，則，即（舍）或.

所以直線的方程為.