【題目】已知函數(shù)
.
（1）若
存在極值，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）設(shè)
，設(shè)
是定義在
上的函數(shù).
（ⅰ）證明：
在上為單調(diào)遞增函數(shù)(
是
的導(dǎo)函數(shù))；
（ⅱ）討論的零點個數(shù).
【答案】（1）
.（2）（ⅰ）證明見解析；（ⅱ）答案見解析
【解析】
（1）求導(dǎo)得
，按照
、分類，求得
、
的解集即可得解；
（2）（ⅰ）令
，對
求導(dǎo)，按照
、
分類，證明
恒大于0，即可得證；
（ⅱ）由
的單調(diào)性結(jié)合
，按照
、
分類，結(jié)合
即可得解.
（1）求導(dǎo)得
，
當(dāng)時，，
在R上單調(diào)遞減，無極值；
當(dāng)時，在
單調(diào)遞減，在
上單調(diào)遞增，
則在
處有極小值.
綜上，實數(shù)a的取值范圍為；
（2）（ⅰ）證明：由題意
，
∵令，
∴
，
∵
，
當(dāng)時，
，
，
，
則
；
當(dāng)時，令
，則
，
所以
在
上單調(diào)遞減，在
上單調(diào)遞增，
所以
，所以
，
從而有：
，而
，
則
，則
；
綜上，對
都有成立，
故
在區(qū)間
單調(diào)遞增；
（ⅱ）由（ⅰ）知，在區(qū)間單調(diào)遞增且，
①當(dāng)時，
，
當(dāng)
時，
則
在單調(diào)遞減；
當(dāng)
時，
則在
單調(diào)遞增，
則
是
的唯一極小值點，且，
從而可知：當(dāng)時，在區(qū)間有唯一零點0；
②當(dāng)時，有
，
且
，
故存在
使
，
此時在
單調(diào)遞減，在
單調(diào)遞增，
且
，
又
，由零點存在定理知：
則在區(qū)間
有唯一零點，記作
，
從而可知：當(dāng)時，在區(qū)間上有兩個零點：0和；
綜上：①當(dāng)時，
在區(qū)間有唯一零點0；
②當(dāng)時，在區(qū)間有兩個不同零點.
科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】直四棱柱
被平面
所截，所得的一部分如圖所示，
．
（1）證明：
平面
；
（2）若
，
，平面
與平面
所成角的正切值為
，求點
到平面的距離．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】設(shè)X是有限集，t為正整數(shù)，F是包含t個子集的子集族：F=
.如果F中的部分子集構(gòu)成的集族S滿足：對S中任意兩個不相等的集合A、B，
均不成立，則稱S為反鏈.設(shè)S1為包含集合最多的反鏈，S2是任意反鏈.證明：存在S2到S1的單射f，滿足
或
成立.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】莊子說：“一尺之錘，日取其半，萬世不竭”，這句話描述的是一個數(shù)列問題，現(xiàn)用程序框圖描述，如圖所示，若輸入某個正整數(shù)n后，輸出的S∈（
，
），則輸入的n的值為（ ）
A.7B.6C.5D.4
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)f（x）＝axlnx﹣x2﹣ax+1（a∈R）在定義域內(nèi)有兩個不同的極值點.
（1）求實數(shù)a的取值范圍；
（2）設(shè)兩個極值點分別為x1，x2，x1＜x2，證明：f（x1）+f（x2）＜2﹣x12+x22.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
的左、右焦點
，離心率為
，點
是橢圓上的動點，
的最大面積是
．
（1）求橢圓
的方程；
（2）圓E經(jīng)過橢圓的左、右焦點，且與橢圓在第一象限的交點為
，且
三點共線，
為坐標(biāo)原點，直線
交橢圓于兩點
，且
．
（i） 求直線
的斜率；
（ii）當(dāng)
的面積取到最大值時，求直線的方程．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】如圖，已知橢圓C:
過原點的直線與橢圓交于A，B兩點(點A在第一象限)，過點A作x軸的垂線，垂足為點
，設(shè)直線BE與橢圓的另一交點為P，連接AP得到直線l，交x軸于點M，交y軸于點N.
（1）若
，求直線AP的斜率；
（2）記
的面積分別為S1，S2，S3，求
的的最大值.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓
(a＞b＞0)的左、右焦點分別為F1，F2，過點F2的直線交橢圓于M，N兩點．已知橢圓的短軸長為
，離心率為
．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）當(dāng)直線MN的斜率為
時，求
的值；
（3）若以MN為直徑的圓與x軸相交的右交點為P(t，0)，求實數(shù)t的取值范圍．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】
年新冠肺炎疫情期間，某區(qū)政府為了解本區(qū)居民對區(qū)政府防疫工作的滿意度，從本區(qū)居民中隨機抽取若干居民進行評分（滿分
分）.根據(jù)調(diào)查數(shù)據(jù)制成如下表格和頻率分布直方圖.已知評分在
的居民有
人.
滿意度評分 |
|
|
|
|
滿意度等級 | 不滿意 | 基本滿意 | 滿意 | 非常滿意 |
（1）求頻率分布直方圖中
的值及所調(diào)查的總?cè)藬?shù)；
（2）定義滿意度指數(shù)
(滿意程度的平均分)/100，若
，則防疫工作需要進行大的調(diào)整，否則不需要大調(diào)整.根據(jù)所學(xué)知識判斷該區(qū)防疫工作是否需要進行大調(diào)整？
（3）為了解部分居民不滿意的原因，從不滿意的居民（評分在
、
）中用分層抽樣的方法抽取
名居民，傾聽他們的意見，并從人中抽取
人擔(dān)任防疫工作的監(jiān)督員，求這
人中僅有一人對防疫工作的評分在內(nèi)的概率.
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