Question

【題目】已知橢圓的左、右焦點，離心率為，點是橢圓上的動點，的最大面積是．

（1）求橢圓的方程；

（2）圓E經過橢圓的左、右焦點，且與橢圓在第一象限的交點為，且三點共線，為坐標原點，直線交橢圓于兩點，且．

（i） 求直線的斜率；

（ii）當的面積取到最大值時，求直線的方程．

Answer 1

【答案】（1）；（2）（i）；（ii）．

【解析】

（1）根據離心率建立等式，結合的最大面積是可求橢圓的方程；

（2）（i）利用圓的對稱性可得圓心為軸上一點，結合，，三點共線可以表示出點的坐標，代入橢圓方程可求點，進而可得直線的斜率；

（ii）設出直線的方程，求出弦長，利用點到直線的距離公式求出三角形的高，結合面積公式及二次函數知識可求直線的方程．

（1）∵離心率，，

∴，，

面積的最大值為：，

∴，；

∴橢圓方程為．

（2）（i）∵圓經過橢圓的兩個焦點，

∴圓心為軸上一點，設點，

∵圓與橢圓在第一象限交于點，∴，

∵，，三點共線，且是圓的一條直徑，

∴，

將點代入橢圓方程得到，即，

∴直線的斜率為．

（ii）∵，∴直線的斜率也為，設直線，，

聯立，得，

，∴，

，，

，

點到直線：的距離，

∴．

∴當，即時的面積最大，此時直線的方程為：．