Question

【題目】如圖，已知橢圓C:過原點的直線與橢圓交于A，B兩點(點A在第一象限)，過點A作x軸的垂線，垂足為點，設直線BE與橢圓的另一交點為P，連接AP得到直線l，交x軸于點M，交y軸于點N.

（1）若，求直線AP的斜率；

（2）記的面積分別為S1，S2，S3，求的的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）根據，求出的坐標，再求出直線的方程，并與橢圓方程聯立解得的坐標，最后用斜率公式可得直線AP的斜率；

（2）設，，則，利用三角形的面積公式求出，根據斜率公式和橢圓方程可得的斜率和直線的方程，進而求出的坐標和，最后用基本不等式可求得結果.

（1）因為，所以，

所以，，，

所以直線的方程為：，即，

聯立，消去并整理得，

所以，，所以，

所以.

（2）設，，則，

則，

因為在直線：上，

所以，所以，

因為，

所以，

因為，

所以，

所以直線：，

所以，，

所以，

所以，

當且僅當時，等號成立.

所以的的最大值為.