Question

求證：（

1

2n

）ⁿ+（

3

2n

）ⁿ+…+（

2n-1

2n

）ⁿ＜

e

e-1

．

Answer 1

考點：不等式的證明

專題：證明題,導數的綜合應用,等差數列與等比數列,不等式的解法及應用

分析：設函數f（x）=e^x-x-1，求出導數，討論當x＜0時，f′（x）＜0，f（x）遞減．即有x＜0時，f（x）＞f（0）=0，即有1+x＜e^x，則

2n-1

2n

=1-

1

2n

＜e-

1

2n

=(

1

e

)

1

n

，即有（

2n-1

2n

）ⁿ＜

1

e

，同理推出其他項，再運用累加法，對右邊運用等比數列求和公式，即可得證．

解答： 證明：設函數f（x）=e^x-x-1，導數f′（x）=e^x-1，
當x＞0時，f′（x）＞0，f（x）遞增，當x＜0時，f′（x）＜0，f（x）遞減．
即有x＜0時，f（x）＞f（0）=0，即有1+x＜e^x，
則

2n-1

2n

=1-

1

2n

＜e-

1

2n

=(

1

e

)

1

n

，即有（

2n-1

2n

）ⁿ＜

1

e

，
則有(

2n-3

2n

)n＜（

1

e

）³，(

2n-5

2n

)n＜（

1

e

）⁵，…，(

1

2n

)n＜（

1

e

）^2n-1，
即有（

1

2n

）ⁿ+（

3

2n

）ⁿ+…+（

2n-1

2n

）ⁿ＜(

1

e

)2n-1+(

1

e

)2n-3+…+(

1

e

)5+(

1

e

)3+

1

e

=

1 e (1- 1 en )

1- 1 e

＜

1 e

1- 1 e

=

e

e-1

．
即不等式成立．

點評：本題考查導數的運用：求單調性，考查不等式的證明方法：運用已知不等式，借助等比數列的求和公式，考查運算能力，屬于難題．