Question

用行列式討論關于x，y的二元一次方程組

mx+4y=m+2 x+my=m

的解的情況，并說明各自的幾何意義．

Answer 1

考點：逆矩陣與二元一次方程組

專題：矩陣和變換

分析：首先，分情況當m≠±2、m=-2、m=2三種情形進行討論，幾何意義：分m≠±2、m=-2、m=2三種情形說明．

解答： 解：D=

.

m 4 1 m

.

=(m-2)(m+2)，Dx=

.

m+2 4 m m

.

=m(m-2)，Dy=

.

m m+2 1 m

.

=(m-2)(m+1)
（1）當m≠±2時，D≠0方程組有唯一解，此時

x= Dx D y= Dy D

，即

x= m m+2 y= m+1 m+2

；
（2）當m=2時，D=D_x=D_y=0，方程組有無窮多組解，通解可表示為

x=t y= 2-t 2

（t∈R），
（3）當m=-2時，D=0，D_x≠0，D_y≠0，此時方程組無解．
幾何意義：設l₁：mx+4y=m+2，l₂：x+my=m
當m≠±2時，方程組唯一解，則直線l₁與l₂相交；
當m=-2時，方程組無解，則直線l₁與l₂平行；
當m=2時，方程組無窮多解，則直線l₁與l₂重合．

點評：本題重點考查了方程組與行列式之間的關系，分類討論思想及其應用等知識，屬于中檔題．解題關鍵是分類中如何劃分“類”．