Question

【題目】設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，若是的導(dǎo)數(shù)，若方程方有實(shí)數(shù)解，則稱.

點(diǎn)為函數(shù)的“拐點(diǎn)”.已知：任何三次函數(shù)既有拐點(diǎn)，又有對稱中心，且拐點(diǎn)就是對稱中心.設(shè)，數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則__________．

Answer 1

【答案】4034

【解析】

由題意對已知函數(shù)求兩次導(dǎo)數(shù)可得f′′（x）=2x﹣4，由題意可得函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)（2，2）對稱，即f（x）+f（4﹣x）=2，由數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式分析可得{an}為等差數(shù)列，且a1+a2017=a2+a2016=…=2a1009=4，而=f（a1）+f（a2）+…+f（a2016）+f（a2017），結(jié)合f（x）+f（4﹣x）=2，計(jì)算可得答案．

根據(jù)題意，三次函數(shù)，

則=x2﹣4x+，

則=2x﹣4，

若=2x﹣4=0，則有x=2，

又由，則f（2）=2，

即（2，2）是三次函數(shù)的對稱中心，

則有f（x）+f（4﹣x）=4，

數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=n﹣1007，為等差數(shù)列，

則有a1+a2017=a2+a2016=…=2a1009=4

則=f（a1）+f（a2）+…+f（a2016）+f（a2017）

=f（a1）+f（a2017）+f（a2）+f（a2016）+…+f（a1008）+f（a1010）+f（a1009）

=4×1008+2=4034；

故答案為：4034．