Question

以棱長為1的正方體各面的中心為頂點的多面體的內切球的表面積是

 

．

Answer 1

考點：球內接多面體

專題：計算題,空間位置關系與距離

分析：以正方體各個面的中心為頂點的多面體是兩個全等的正四棱錐的組合體，一個正四棱錐的高是正方體的高的一半，求出這個多面體的體積，可得內切球的半徑，即可求出內切球的表面積．

解答： 解：以正方體各個面的中心為頂點的多面體是兩個全等的正四棱錐的組合體，
如圖，一個正四棱錐的高是正方體的高的一半，
故所求的多面體的體積為2×

1

3

×

1

2

×1×1×

1

2

×1=

1

6

，
設內切球的半徑為r，則8×

1

3

×

3

4

×(

2

2

)2r=

1

6

，
∴r=

3

6

，
∴內切球的表面積是4π•(

3

6

)2=

π

3

．
故答案為：

π

3

．

點評：本題考查幾何體的體積的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養．