Question

一次登島、奪島軍事演習中，紅軍2000官兵乘軍艦登島，藍軍在登島海域布置魚雷反登島，每搜軍艦在登島過程中被藍軍魚雷擊沉的概率為p（0＜p＜1），紅軍現有五艘軍艦，每艘軍艦最大乘員500人，躲過魚雷襲擊就能成功登島，登島官兵至少需要1500人，才能擊敗奪島藍軍，成功奪島，紅軍可選用兩種方案運載官兵：
方案甲：使用4艘軍艦．
方案乙：使用5艘軍艦，每艘乘員400人．
（1）如果以登島人數論成敗，紅軍應選擇哪種方案？
（2）如果以奪島論成敗，紅軍應選擇哪種方案？

Answer 1

考點：概率的應用

專題：應用題,概率與統計

分析：（1）設甲、乙方案躲過魚雷襲擊軍艦數量分別為x₀，y₀，則x₀～B（4，q），y₀～B（5，q），其中p+q=1，求出EX=EY，DX＞DY，即可得出結論；
（2）甲方案紅軍成功奪島的概率p₁=

C

3 4

q3p+q⁴，乙方案紅軍成功奪島的概率p₂=

C

4 5

q4p+q⁵，作差，即可得出結論．

解答： 解：（1）設甲、乙方案躲過魚雷襲擊軍艦數量分別為x₀，y₀，則x₀～B（4，q），y₀～B（5，q），其中p+q=1，
∴Ex₀=4q，Ey₀=5q，Dx₀=4pq，Dy₀=5pq，
甲、乙方案紅軍成功登島人數分別為X=500x₀，Y=400y₀，則：EX=500Ex₀=2000q，EY=400Ey₀=2000q，
∴EX=EY，DX=500²Dx₀=4×500²pq，DY=400²Dy₀=5×400²pq．
∴DX＞DY，
∴如果以登島人數論成敗，紅軍應選擇乙方案．
（2）甲方案紅軍成功奪島的概率p₁=

C

3 4

q3p+q⁴，乙方案紅軍成功奪島的概率p₂=

C

4 5

q4p+q⁵
p₁-p₂=4q⁵-8q⁴+4q³=4q³（q²-2q+1）=4q³（q-1）²＞0，
∴p₁＞p₂，
∴如果以奪島論成敗，紅軍應選擇甲方案．

點評：本題考查概率的運用，考查學生利益數學知識解決實際問題，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．