Question

【題目】已知焦點在軸上的拋物線過點，橢圓的兩個焦點分別為 ，其中 與的焦點重合，過與長軸垂直的直線交橢圓于兩點且,曲線是以原點為圓心以 為半徑的圓.

（1）求與及的方程；

（2）若動直線與圓相切,且與交與兩點,三角形 的面積為，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1） ； （2）.

【解析】

（1）先利用點的坐標求拋物線的方程，再根據題意分別求出橢圓和圓的方程；

（2）設出直線方程，求出面積的表達式，根據表達式的特點，求出范圍.

(1)由已知設拋物線方程為則,解得,

即的方程為;焦點坐標為,

所以橢圓中,其焦點也在軸上設方程為

由得, 又解得

橢圓方程為，

又所以所求圓的方程為，

(2) 因為直線與圓相切,所以圓心O到直線的距離為1,

所以，

當直線的斜率不存在時方程為,兩種情況所得到的三角形面積相等,

由得 ,不妨設 ,

此時 ，

當直線的斜率存在時設為,直線方程為

所以圓心O到直線的距離為 即，

由得

所以

恒大于0，

設 則

所以

，

令則,

所以

是關于 的二次函數開口向下,在時單調遞減,

所以，綜上: .