Question

【題目】關于函數，下列判斷正確的是（ ）

A.是的極大值點

B.函數有且只有1個零點

C.存在正實數，使得成立

D.對任意兩個正實數，，且，若，則.

Answer 1

【答案】BD

【解析】

A.求函數的導數，結合函數極值的定義進行判斷

B.求函數的導數，結合函數的單調性，結合函數單調性和零點個數進行判斷即可

C.利用參數分離法，構造函數g（x），求函數的導數，研究函數的單調性和極值進行判斷即可

D.令g（t）＝f（2+t）﹣f（2﹣t），求函數的導數，研究函數的單調性進行證明即可

A.函數的 的定義域為（0，+∞），

函數的導數f′（x），∴（0，2）上，f′（x）＜0，函數單調遞減，（2，+∞）上，f′（x）＞0，函數單調遞增，

∴x＝2是f（x）的極小值點，即A錯誤；

B.y＝f（x）﹣xlnx﹣x，∴y′10，

函數在（0，+∞）上單調遞減，且f（1）﹣1ln1﹣1=1>0，f（2）﹣2ln2﹣2= ln2﹣1<0，∴函數y＝f（x）﹣x有且只有1個零點，即B正確；

C.若f（x）＞kx，可得k，令g（x），則g′（x），

令h（x）＝﹣4+x﹣xlnx，則h′（x）＝﹣lnx，

∴在x∈（0，1）上，函數h（x）單調遞增，x∈（1，+∞）上函數h（x）單調遞減，

∴h（x）h（1）＜0，∴g′（x）＜0，

∴g（x）在（0，+∞）上函數單調遞減，函數無最小值，

∴不存在正實數k，使得f（x）＞kx恒成立，即C不正確；

D.令t∈（0，2），則2﹣t∈（0，2），2+t＞2，

令g（t）＝f（2+t）﹣f（2﹣t）ln（2+t）ln（2﹣t）ln，

則g′（t）0，

∴g（t）在（0，2）上單調遞減，

則g（t）＜g（0）＝0，

令x1＝2﹣t，

由f（x1）＝f（x2），得x2＞2+t，

則x1+x2＞2﹣t+2+t＝4，

當x2≥4時，x1+x2＞4顯然成立，

∴對任意兩個正實數x1，x2，且x2＞x1，若f（x1）＝f（x2），則x1+x2＞4，故D正確

故正確的是BD，

故選：BD．